代数几何（英语：algebraic geometry）是数学的一个分支，经典代数几何研究多项式方程的零点。现代代数几何将抽象代数，尤其是交换代数，同几何学的语言和问题结合起来。代数几何的基本研究对象为代数簇。代数簇是由空间坐标的若干代数方程的零点集。常见的例子有平面代数曲线，比如直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线、三次曲线（非奇异情形称作椭圆曲线）、四次曲线（如双纽线，以及卵形线）、以及一般n次曲线。代数几何的基本问题涉及对代数簇的分类，比如考虑在双有理等价意义下的分类，即双有理几何，以及模空间问题，等等。代数几何在现代数学占中心地位，与多复变函数论、微分几何、拓扑学和数论等不同领域均有交叉。始于对代数方程组的研究，代数几何延续解方程未竟之事；与其求出方程实在的解，代数几何尝试理解方程组的解的几何性质。代数几何的概念和技巧都催生了某些最深奥的数学的分支。进入20世纪，代数几何的研究又衍生出几个分支： 20世纪以来，代数几何主流的许多进展都在抽象代数的框架内进行，越发强调代数簇“内蕴的”性质，即那些不取决于代数簇在射影空间的具体嵌入方式的性质，与拓扑学、微分几何及复几何等学科的发展相应。抽象代数几何的一大关键成就是格罗滕迪克的概形论；概形论允许人们应用层论研究代数簇，某种意义上与应用层论研究微分流形与解析流形是否相似。概形论延伸了点的概念。在经典代数几何中，根据希尔伯特零点定理，一个仿射代数簇的一点对应于坐标环上的一个极大理想，仿射概形上的子簇则对应于坐标环的素理想。而在概型论中，概型的点集包含了经典情况代数簇的点集，以及所有子簇的信息。这种方法使得经典代数几何（主要涉及闭点）同时联系起了微分几何、数论等主流分支的问题研究。

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